Distribución Normal

La distribución normal fue presentada por primera vez por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733, que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine Of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría Analítica de las Probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.

Laplace uso la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido por Legendre en 1805. Gauss que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justifico rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la uso con profusión cuando analizaba datos astronómicos y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler. el nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que uso el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribucion normal bivariante de componentes independientes. El nombre de distribución normal fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.

Teoría

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

Caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
Caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
Nivel de ruido en telecomunicaciones;
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
Etc.

Función de Densidad

Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto específica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.

Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

Por lo tanto, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

y (si f es continua en x)

Función de Distribución

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:

Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:

y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:

El complemento de la función de distribución de la normal estándar, se denota con frecuencia y es referida a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería. Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples

La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error: